Математика. Интегралы

Замечание2. В точке перегиба вторая производная может не существовать. Т3. (Первое достаточное условие перегиба). Пусть y = f ( x ) имеет вторую производную на c ( a , b ), f ( c )=0. Если f ( x ) имеет на ( a , c ), ( c , b ) разные знаки, то ( c , f ( c )) – точка перегиба графика f ( x ). Т4. (Второе условие перегиба). Если y = f ( x ) имеет в точке конечную третью производную и f ( c )=0, а f ( c ) ¹ 0, тогда ( c , f ( c )) – точка перегиба графика f ( x ). 4. *1. Первообразная от функции f ( x ) в данном интервале называется функция F ( x ), производная которой равна данной функции: F ( x )= f ( x ). T 1. Всякая непрерывная функция имеет бесчисленное множество первообразных, причем любые две из них отличаются друг от друга только постоянным слагаемым. Док-во: F ( x ) и Ф(х) – две первообразные от f ( x ), тождественно не равные между собой. Имеем F ( x )= f ( x ), Ф (х)= f ( x ). Вычитая одно равенство из другого, получим [ F ( x )–Ф(х)] =0. Но если производная от некоторой функции (в нашем случае от F ( x )–Ф(х)) тождественно равна нулю, то сама функция есть постоянная; F ( x )–Ф(х)=С. *2. Неопределенным интегралом от данной функции f ( x ) называется множество всех его первообразных F ( x )= f ( x ). 5. Свойства неопределенного интеграла: Производная НИ =подынтегральной функции; дифференциал от НИ равен подынтегральному выражению: НИ от дифференциала некоторой функции равен этой функции с точностью до постоянного слагаемого: НИ от суммы конечного числа функций равен сумме интегралов от слагаемых функций: u , v , …, w -функции независимой переменной х. Док-во: Постоянный множитель можно выносить за знак НИ: Т2. (об инвариантности формул интегрирования): Пусть f ( x ) dx = F ( x )+ C – какая-либо известная формула интегрирования и u =ф(х) – любая функция, имеющая непрерывную производную. Тогда f ( u ) du = F ( u )+ C . Док-во: Из того, что f ( x ) dx = F ( x )+ C , следует F ( x )= f ( x ). Возьмем функцию F ( u )= F [ф( x )]; для её дифференциала, в силу теоремы об инвариантности вида первого дифференциала функции, имеем: dF ( u )=F ( u ) du = f ( u ) du . Отсюда f ( u ) du = dF ( u )= f ( u )+ C . 6. Метод замены переменных. 1) Подведение под знак дифференциала. Т1. Пусть функция y = f ( x ) определена и дифференцируема, пусть также существует f ( x )= f ( j ( t )) тогда если функция f ( x ) имеет первообразную то справедлива формула: F ( x ) для функции f ( x ), т.е. F ( x )= f ( x ). Найдем первообразную для f ( j ( t )), [ F ( j ( t ))] t = F ( x )( j ( t )) j ( t )= F ( x ) j ( t )= f ( x ) j ( t ). f ( x ) j ( t ) dt = f ( j ( t ))+ C . F ( j ( t ))+ C =[ F ( x )+ C ]| x = j ( t ) = f ( x ) dx | x = j ( t ) . Замечание1. При интегрировании иногда целесообразно подбирать подстановку не в виде x = j ( t ), а в виде t = j ( x ). 2) Подведение под знак дифференциала. F(x)dx=g( j (x)) j (x)dx=g(u)du. f(x)dx= g( j (x)) j (x)dx= g(u)du. dx=d(x+b), где b=const; dx=1/ad(ax), a ¹ 0; dx=1/ad(ax+b), a ¹ 0; ф (х) dx = d ф( x ); xdx=1/2 d(x 2 +b); sinxdx=d(-cosx); cosxdx=d(sinx); Интегрирование по частям: udv = uv - vdu . До-во: Пусть u ( x ) и v ( x ) – функции от х с непрерывными производными. D ( uv )= udv + vdu , udv = d ( uv )- vdu (интегрируем) udv = d ( uv )- vdu или udv = uv - vdu . 7. Интегрирование по частям: udv = uv - vdu . До-во: Пусть u ( x ) и v ( x ) – функции от х с непрерывными производными. D ( uv )= udv + vdu , udv = d ( uv )- vdu (интегрируем) udv = d ( uv )- vdu или udv = uv - vdu . Интегрирование функций, содержащих квадратный трехчлен: Первый интеграл табличного вида: du / u k : Второй интеграл сводится к нахождению интеграла: где u = x + p /2, a = q - p 2 /4>0 – рекуррентная формула.

Интегрирование рациональных функций: R ( x )= P ( x )/ Q ( x ), R ( x )-рациональная функция, P ( x ) и Q ( x )-многочлены. Дробь P ( x )/ Q ( x ) можно разложить в сумму простейших дробей, где A i , B i , C i – постоянные, а именно: каждому множителю ( x - a ) k в представлении знаменателя Q ( x ) соответствует в разложении дроби P ( x )/ Q ( x ) на слагаемые сумма k простейших дробей типа а каждому множителю ( x 2 + px + q ) t соответствует сумма t простейших дробей типа Q ( x ) на множители имеет место разложение дроби P ( x )/ Q ( x ) на слагаемые. Правила интегрирования рациональных дробей: Если рац. дробь неправильная, то её представляют в виде суммы многочлена и неправильной дроби.